Para analisar a equação da superfície esférica dada, precisamos reescrevê-la na forma padrão da equação de uma esfera, que é \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\). A equação dada é: \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 10z + 12 = 0 \] Vamos completar o quadrado para \(x\) e \(z\): 1. Para \(x\): \[ x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 \] 2. Para \(z\): \[ z^2 + 10z = (z + 5)^2 - 25 \] Substituindo na equação original: \[ (x + 1)^2 - 1 + y^2 + (z + 5)^2 - 25 + 12 = 0 \] \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z + 5)^2 - 14 = 0 \] \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z + 5)^2 = 14 \] Agora, temos a forma padrão da esfera: - Centro: \((-1, 0, -5)\) - Raio: \(\sqrt{14}\) Agora, vamos analisar as alternativas: a. O ponto M (2, -1, 3) pertence à λ. - Para verificar, substituímos \(x = 2\), \(y = -1\), \(z = 3\) na equação da esfera: \[ (2 + 1)^2 + (-1)^2 + (3 + 5)^2 = 3^2 + 1 + 8^2 = 9 + 1 + 64 = 74 \neq 14 \] Portanto, M não pertence à λ. b. λ não intercepta o eixo das abcissas. - Para verificar, colocamos \(y = 0\) e \(z = 0\): \[ x^2 + 2x + 12 = 0 \] O discriminante é \(2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 4 - 48 < 0\), então não há interseção. c. λ tem raio igual a 14. - O raio é \(\sqrt{14}\), não 14. d. Todas as afirmativas anteriores são verdadeiras. - Como a alternativa a) e c) são falsas, esta também é falsa. e. λ passa pelo ponto (0, 0, 0). - Para verificar, substituímos \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\): \[ 0^2 + 0^2 + 0^2 + 2(0) + 10(0) + 12 = 12 \neq 0 \] Portanto, não passa pelo ponto (0, 0, 0). A única alternativa verdadeira é a b): λ não intercepta o eixo das abcissas.