Para analisar a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por: - \( f(x) = 3x + 3 \) para \( x < 0 \) - \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \) para \( x > 0 \) Vamos verificar as propriedades de injetividade e sobrejetividade. 1. Injetividade: Uma função é injetora se valores diferentes de \( x \) resultam em valores diferentes de \( f(x) \). - Para \( x < 0 \), \( f(x) = 3x + 3 \) é uma função linear e, portanto, injetora. - Para \( x > 0 \), \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \) é uma parábola que abre para cima. Para verificar se é injetora, precisamos ver se tem um mínimo. O vértice da parábola é dado por \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2 \), que não está no domínio \( x > 0 \). Portanto, a função é crescente para \( x > 0 \) e, assim, também é injetora nesse intervalo. 2. Sobrejetividade: Uma função é sobrejetora se para todo \( y \in \mathbb{R} \) existe um \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = y \). - Para \( x < 0 \), \( f(x) = 3x + 3 \) pode assumir valores de \( 3 \) até \( -\infty \). - Para \( x > 0 \), \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \) tem um mínimo em \( f(0) = 3 \) e cresce até \( +\infty \). Portanto, a função não atinge valores menores que \( 3 \). Dessa forma, a função não é sobrejetora, pois não cobre todos os valores de \( \mathbb{R} \). Agora, analisando as alternativas: - A) f é injetora mas não é sobrejetora. (Correta) - B) f é sobrejetora mas não é injetora. (Incorreta) - C) f é bijetora e \( f^{-1}(3)=0 \). (Incorreta) - D) f é bijetora e \( f^{-1}(0)=1 \). (Incorreta) - E) f é bijetora e \( f^{-1}(0)=2 \). (Incorreta) Portanto, a alternativa correta é: A) f é injetora mas não é sobrejetora.