Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \cdot \sin(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{2x} \) e \( v(x) = \sin(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2e^{2x} \) (usando a regra da cadeia) - \( v'(x) = \cos(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2e^{2x}) \cdot \sin(x) + e^{2x} \cdot \cos(x) \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2e^{2x} \cdot \sin(x) + e^{2x} \cdot \cos(x) \] Analisando as alternativas: a) \( 2e^{2x} \cdot \cos(x) \) - Incorreta. b) \( 2e^{2x} \cdot \sin(x) \) - Incorreta. c) \( 2e^{2x} \cdot \cos(x) + e^{2x} \cdot \sin(x) \) - Incorreta. d) \( 2e^{2x} \cdot \cos(x) - e^{2x} \cdot \sin(x) \) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada correta. A derivada correta é: \[ f'(x) = 2e^{2x} \cdot \sin(x) + e^{2x} \cdot \cos(x) \] Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se todas as alternativas estão corretas?