Questão: Qual é a derivada da função f(x) = e^{2x} \. sin(x) em relação a x?

a) 2e^{2x} \. cos(x)
b) 2e^{2x} \. sin(x)
c) 2e^{2x} \. cos(x) + e^{2x} \. sin(x)
d) 2e^{2x} \. cos(x) - e^{2x} \. sin(x)

Question

Questão: Qual é a derivada da função f(x) = e^x * sin(x) em relação a x?

a) f'(x) = e^x * cos(x)
b) f'(x) = e^x * sin(x) - e^x * cos(x)
c) f'(x) =...

Ed · Answer

Para encontrar a derivada da função $ f(x) = e^x \cdot \sin(x) $, precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções $ u(x) $ e $ v(x) $ é dada por:

$$
f'(x) = u'v + uv'
$$

Neste caso, temos:
- $ u(x) = e^x $ e $ u'(x) = e^x $
- $ v(x) = \sin(x) $ e $ v'(x) = \cos(x) $

Aplicando a regra do produto:

$$
f'(x) = e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot \cos(x)
$$

Podemos fatorar $ e^x $:

$$
f'(x) = e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x))
$$

Agora, analisando as alternativas:

a) $ f'(x) = e^x \cdot \cos(x) $ - Incorreto.
b) $ f'(x) = e^x \cdot \sin(x) - e^x \cdot \cos(x) $ - Incorreto.
c) $ f'(x) = e^x \cdot (\cos(x) + \sin(x)) $ - Correto.
d) $ f'(x) = e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) $ - Correto, mas é a mesma expressão da alternativa c.

Portanto, as alternativas corretas são c) e d), mas como você pediu apenas uma resposta, a melhor escolha é:

c) $ f'(x) = e^x \cdot (\cos(x) + \sin(x)) $

Cálculo

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a) 6
b) 9
c) 4
d) 10