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Considere a relação S sobre R definida da seguinte forma: xSy se, e somente se, x−y ∈ Q. a) Prove que S é uma relação de equivalência. b) Descreva a classe representada por 1/2. c) Descreva a classe a, quando a ∈ Q. d) Descreva a classe √2.

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Solucionário Álgebra Moderna (Hygino Domingues)

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Considere os seguintes subconjuntos de R (aqui considerado como conjunto universo): A = {x ∈ R|x2 < 4}, B = {x ∈ R|x2 − x ≥ 2}, C = {1/2, 1/31/4, ...} e D = {x ∈ R| − 2 < x < −1}. Classifique cada relação seguinte como verdadeira ou falsa e justifique.
a) Ac ⊂ B
b) A ∩ B = D
c) C ⊂ Bc
d) B ∪ A ⊃ C
e) C ∩ D 6= Ø

Construa um exemplo envolvendo dois conjuntos, B e C, para os quais se verifiquem as seguintes relações: Ø ∈ C, B ∈ C, B ⊂ C.

Descubra conjuntos A, B e C, tais que B 6= C e A ∪ B = A ∪ C.

4. Se A, B e C são conjuntos tais que A ∪ B = A ∪ C e A ∩ B = A ∩ C, prove que B = C.

5. Sejam A e B conjuntos tais que A ∪ B = A ∩ B. Prove que A = B.

6. Se A e B são conjuntos arbitrários, demonstre as seguintes propriedades conhecidas como leis de absorção.
a) A ∩ (A ∪ B) = A
b) A ∪ (A ∩ B) = A

7. Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A e indica-se por P(A) o conjunto de todos os subconjuntos de A. Por exemplo, se A = {1, 2}, então P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}
a) Determine P(A) quando A = {Ø, 1, {1}}.
b) Prove que se um conjunto A têm n elementos então P(A) têm 2n elementos.
c) Se o número de subconjuntos binários (formados de dois elementos) de um conjunto dado é 15, quantos subconjuntos têm esse conjunto?

8. Para indicar o número de elementos de um conjunto finito X, adotemos a notação n(X). Mostre então que se, A e B são conjuntos finitos, verifica-se a importante relação: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

9. Numa pesquisa a respeito da assinatura das revistas A e B, foram entrevistadas 500 pessoas. Verificou-se que 20 delas assinavam a revista A, 14 a revista B e 4 as duas revistas. Quantas das pessoas entrevistadas não assinavam nenhuma das revistas?

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Construa um exemplo envolvendo dois conjuntos, B e C, para os quais se verifiquem as seguintes relações: Ø ∈ C, B ∈ C, B ⊂ C.

Descubra conjuntos A, B e C, tais que B 6= C e A ∪ B = A ∪ C.

4. Se A, B e C são conjuntos tais que A ∪ B = A ∪ C e A ∩ B = A ∩ C, prove que B = C.

5. Sejam A e B conjuntos tais que A ∪ B = A ∩ B. Prove que A = B.

6. Se A e B são conjuntos arbitrários, demonstre as seguintes propriedades conhecidas como leis de absorção.
a) A ∩ (A ∪ B) = A
b) A ∪ (A ∩ B) = A

8. Para indicar o número de elementos de um conjunto finito X, adotemos a notação n(X). Mostre então que se, A e B são conjuntos finitos, verifica-se a importante relação: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

9. Numa pesquisa a respeito da assinatura das revistas A e B, foram entrevistadas 500 pessoas. Verificou-se que 20 delas assinavam a revista A, 14 a revista B e 4 as duas revistas. Quantas das pessoas entrevistadas não assinavam nenhuma das revistas?

Se A, B e C são conjuntos finitos, mostre que: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

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Construa um exemplo envolvendo dois conjuntos, B e C, para os quais se verifiquem as seguintes relações: Ø ∈ C, B ∈ C, B ⊂ C.

Descubra conjuntos A, B e C, tais que B 6= C e A ∪ B = A ∪ C.

4. Se A, B e C são conjuntos tais que A ∪ B = A ∪ C e A ∩ B = A ∩ C, prove que B = C.

5. Sejam A e B conjuntos tais que A ∪ B = A ∩ B. Prove que A = B.

6. Se A e B são conjuntos arbitrários, demonstre as seguintes propriedades conhecidas como leis de absorção.a) A ∩ (A ∪ B) = Ab) A ∪ (A ∩ B) = A

8. Para indicar o número de elementos de um conjunto finito X, adotemos a notação n(X). Mostre então que se, A e B são conjuntos finitos, verifica-se a importante relação: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

9. Numa pesquisa a respeito da assinatura das revistas A e B, foram entrevistadas 500 pessoas. Verificou-se que 20 delas assinavam a revista A, 14 a revista B e 4 as duas revistas. Quantas das pessoas entrevistadas não assinavam nenhuma das revistas?

Se A, B e C são conjuntos finitos, mostre que: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

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6. Se A e B são conjuntos arbitrários, demonstre as seguintes propriedades conhecidas como leis de absorção.
a) A ∩ (A ∪ B) = A
b) A ∪ (A ∩ B) = A