Qual é o valor da integral definida da função \(f(x) = e^{2x} + 3\) de 0 a 1? a) \(e^2 + 3\) b) \(2e + 3\) c) \(e^3 + 3\) d) \(2e^2 + 3\)

Para calcular a integral definida da função \(f(x) = e^{2x} + 3\) de 0 a 1, precisamos primeiro encontrar a antiderivada da função. A antiderivada de \(e^{2x}\) é \(\frac{1}{2}e^{2x}\) e a antiderivada de \(3\) é \(3x\). Portanto, a antiderivada de \(f(x)\) é: \[ F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 3x \] Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (e^{2x} + 3) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} + 3 \cdot 1 = \frac{1}{2}e^2 + 3 \] Calculando \(F(0)\): \[ F(0) = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} + 3 \cdot 0 = \frac{1}{2}e^0 + 0 = \frac{1}{2} \] Agora, subtraímos: \[ \int_0^1 (e^{2x} + 3) \, dx = \left(\frac{1}{2}e^2 + 3\right) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^2 + 3 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{2} \] Porém, precisamos simplificar isso para ver qual alternativa se encaixa. Vamos reescrever: \[ \frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}(e^2 + 5) \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a isso. Vamos verificar as alternativas novamente: a) \(e^2 + 3\) b) \(2e + 3\) c) \(e^3 + 3\) d) \(2e^2 + 3\) Parece que houve um erro na simplificação. Vamos revisar a integral: A integral correta é: \[ \int_0^1 (e^{2x} + 3) \, dx = \left(\frac{1}{2}e^2 + 3\right) - \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{2} \] A resposta correta, considerando a forma das alternativas, é: Nenhuma das alternativas está correta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!