Qual é a integral definida da função f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1 no intervalo [1, 3]? a) 30 b) 35 c) 40 d) 45

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \) no intervalo \([1, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) da função \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^3 - 3x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) no intervalo \([1, 3]\): \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) \] - Calculando \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(3^4) - (3^3) + 2(3^2) + 3 = \frac{1}{2}(81) - 27 + 18 + 3 = 40.5 - 27 + 18 + 3 = 34.5 \] - Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1^4) - (1^3) + 2(1^2) + 1 = \frac{1}{2}(1) - 1 + 2 + 1 = 0.5 - 1 + 2 + 1 = 2.5 \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 34.5 - 2.5 = 32 \] Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar: - \( F(3) = 40.5 \) - \( F(1) = 2.5 \) Portanto, a integral definida é: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 40.5 - 2.5 = 38 \] Nenhuma das alternativas está correta. Você pode verificar os cálculos ou as opções fornecidas.