Questão: Qual é o resultado da integral definida de f(x) = 2x^2 + 3x + 1 no intervalo de 0 a 2? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^2 + 3x + 1 \) no intervalo de 0 a 2, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de 0 a 2: \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = F(2) - F(0) \] - Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{2}{3}(2^3) + \frac{3}{2}(2^2) + 2 = \frac{2}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) + 2 = \frac{16}{3} + 6 + 2 = \frac{16}{3} + \frac{18}{3} + \frac{6}{3} = \frac{40}{3} \] - Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 3. Substituindo na fórmula: \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{40}{3} - 0 = \frac{40}{3} \] Agora, precisamos converter \( \frac{40}{3} \) para um número decimal para comparar com as alternativas: \[ \frac{40}{3} \approx 13.33 \] Nenhuma das alternativas (14, 16, 18, 20) corresponde ao resultado da integral. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na formulação da questão. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada é a mesma.