Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1)? a) 2xln(x^2 + 1) b) 2x/(x^2+1) c) 2x/(x^2+1)ln(x^2 + 1) d) 2x/(x^2+1)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \). 1. Primeiro, encontramos \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 2x \ln(x^2 + 1) \) - Incorreta, pois não é a forma da derivada. b) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Correta, esta é a derivada que encontramos. c) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \ln(x^2 + 1) \) - Incorreta, pois adiciona um fator desnecessário. d) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Esta é a mesma que a alternativa (b), mas não é uma opção válida. Portanto, a alternativa correta é: b) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).