Qual é a integral definida da função f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 7 no intervalo [0, 2]? a) 58 b) 66 c) 72 d) 80

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 7 \) no intervalo \([0, 2]\), precisamos primeiro encontrar a antiderivada da função. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 2x^3 \) é \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \). - A antiderivada de \( 5x^2 \) é \( \frac{5}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( 3x \) é \( \frac{3}{2}x^2 \). - A antiderivada de \( 7 \) é \( 7x \). Portanto, a antiderivada \( F(x) \) é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 7x \] 2. Calcular a integral definida: Agora, precisamos calcular \( F(2) - F(0) \). - Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + \frac{5}{3}(2^3) + \frac{3}{2}(2^2) + 7(2) \] \[ = \frac{1}{2}(16) + \frac{5}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) + 14 \] \[ = 8 + \frac{40}{3} + 6 + 14 \] \[ = 28 + \frac{40}{3} = \frac{84}{3} + \frac{40}{3} = \frac{124}{3} \] - Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 3. Resultado da integral: \[ F(2) - F(0) = \frac{124}{3} - 0 = \frac{124}{3} \] Agora, precisamos converter \( \frac{124}{3} \) para um número decimal ou inteiro para comparar com as opções. \[ \frac{124}{3} \approx 41.33 \] Nenhuma das opções fornecidas (58, 66, 72, 80) corresponde ao resultado da integral definida. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada é a mesma.