Questão: Qual é a derivada da função f(x) = sen(x)cos(x)? a) cos(x) b) -sen(x) c) sen^2(x) d) cos^2(x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sen(x) \cos(x) \), podemos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = \sen(x) \) e \( v(x) = \cos(x) \) - A derivada de \( u(x) \) é \( u'(x) = \cos(x) \) - A derivada de \( v(x) \) é \( v'(x) = -\sen(x) \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = \cos(x) \cos(x) + \sen(x)(-\sen(x)) = \cos^2(x) - \sen^2(x) \] Portanto, a derivada da função \( f(x) = \sen(x) \cos(x) \) é \( \cos^2(x) - \sen^2(x) \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa derivada. No entanto, se considerarmos a identidade trigonométrica \( \sen(2x) = 2\sen(x)\cos(x) \), podemos reescrever a função original como \( f(x) = \frac{1}{2}\sen(2x) \), cuja derivada é \( f'(x) = \cos(2x) \). Assim, a resposta correta não está entre as opções dadas. Você pode verificar se há um erro nas alternativas ou se a questão foi formulada de maneira diferente.