Qual é a derivada de f(x) = e^x ln(x)? a) e^{x+1} ln(x) b) e^x/x c) e^x ln(x) + e^x/x d) e^x ln(x) + e^x/x^2

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( u'(x) = e^x \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = e^x \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \] Analisando as alternativas: a) \( e^{x+1} \ln(x) \) - Incorreta. b) \( \frac{e^x}{x} \) - Incorreta. c) \( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \) - Correta. d) \( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x^2} \) - Incorreta. A alternativa correta é: c) \( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \).