Qual é a derivada da função f(x) = e^x * ln(x)? a) e^x * (1 + ln(x)) b) e^x * (1 + 1/x) c) e^x * (1 + 1/(x*ln(x))) d) e^x * (1 + 1/ln(x))

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( u'(x) = e^x \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} \] Fatorando \( e^x \): \[ f'(x) = e^x \left( \ln(x) + \frac{1}{x} \right) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( e^x \cdot (1 + \ln(x)) \) - Incorreta, pois não está correta a parte da derivada de \( \ln(x) \). b) \( e^x \cdot (1 + \frac{1}{x}) \) - Incorreta, pois a parte \( 1 \) não está correta. c) \( e^x \cdot (1 + \frac{1}{(x \cdot \ln(x))}) \) - Incorreta, não corresponde à derivada. d) \( e^x \cdot (1 + \frac{1}{\ln(x)}) \) - Incorreta, não corresponde à derivada. Nenhuma das alternativas apresentadas está correta. A derivada correta é: \[ f'(x) = e^x \left( \ln(x) + \frac{1}{x} \right) \] Se precisar de mais ajuda, é só avisar!