Quantos valores inteiros de "????" verificam a seguinte inequação ||????| − 3| ≥ ||????| − 1|? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Para resolver a inequação \( ||x| - 3| \geq ||x| - 1| \), vamos analisar os casos possíveis para \( |x| \). 1. Caso 1: \( |x| \geq 3 \) - \( ||x| - 3| = |x| - 3 \) - \( ||x| - 1| = |x| - 1 \) - A inequação se torna \( |x| - 3 \geq |x| - 1 \), que simplifica para \( -3 \geq -1 \), o que é falso. Portanto, não há soluções nesse caso. 2. Caso 2: \( 1 \leq |x| < 3 \) - \( ||x| - 3| = 3 - |x| \) - \( ||x| - 1| = |x| - 1 \) - A inequação se torna \( 3 - |x| \geq |x| - 1 \), que simplifica para \( 4 \geq 2|x| \) ou \( |x| \leq 2 \). - Portanto, neste intervalo, temos \( 1 \leq |x| \leq 2 \), o que implica \( x = -2, -1, 1, 2 \) (4 valores). 3. Caso 3: \( |x| < 1 \) - \( ||x| - 3| = 3 - |x| \) - \( ||x| - 1| = 1 - |x| \) - A inequação se torna \( 3 - |x| \geq 1 - |x| \), que simplifica para \( 3 \geq 1 \), que é sempre verdadeiro. - Portanto, neste intervalo, temos \( -1 < x < 1 \), o que implica \( x = 0 \) (1 valor). Agora, somando os valores inteiros que encontramos: - Do Caso 2: \( -2, -1, 1, 2 \) (4 valores) - Do Caso 3: \( 0 \) (1 valor) Totalizando, temos 5 valores inteiros que satisfazem a inequação. Portanto, a resposta correta é: (E) 5.