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Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( 3 \) d) \( -1 \)

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há 11 meses

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \), podemos usar a fatoração do numerador. O polinômio \( x^3 - 1 \) pode ser fatorado como \( (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Assim, temos: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \] Podemos cancelar \( (x - 1) \) no numerador e no denominador (desde que \( x \neq 1 \)): \[ \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) \] Agora, substituímos \( x = 1 \): \[ 1^2 + 1 + 1 = 3 \] Portanto, o limite é \( 3 \). A alternativa correta é: c) \( 3 \).

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Calcule a integral:

\[
\int \sin(x) \, dx
\]
A) \(-\cos(x) + C\)
B) \(\cos(x) + C\)
C) \(-\sin(x) + C\)
D) \(\sin(x) + C\)

**Resposta:** A) \(-\cos(x) + C\)

**Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x) + C\).

A) \(-\cos(x) + C\)
B) \(\cos(x) + C\)
C) \(-\sin(x) + C\)
D) \(\sin(x) + C\)

Calcule a derivada de \(f(x) = x^4 + 5x^2\).
A) \(4x^3 + 10x\)
B) \(5x^3 + 10x\)
C) \(4x^3 + 5x\)
D) \(10x^2 + 5\)

**Resposta:** A) \(4x^3 + 10x\)

**Explicação:** A derivada é calculada aplicando a regra de potência a cada termo.

A) \(4x^3 + 10x\)
B) \(5x^3 + 10x\)
C) \(4x^3 + 5x\)
D) \(10x^2 + 5\)

22. Calcule a integral \( \int e^{2x} \, dx \). A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) B) \( 2e^{2x} + C \) C) \( e^{2x} + C \) D) \( e^{x} + C \) **Resposta: A** **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Aqui, \( k = 2 \), então a integral é \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \).

A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)
B) \( 2e^{2x} + C \)
C) \( e^{2x} + C \)
D) \( e^{x} + C \)

Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\).
A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
C) \(\frac{3}{x^3 + 1}\)
D) \(\frac{3x^2 + 1}{x^3}\)

**Resposta:** A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)

**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}\).

A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
C) \(\frac{3}{x^3 + 1}\)
D) \(\frac{3x^2 + 1}{x^3}\)

Calcule o limite:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}
\]
A) 2
B) 1
C) 0
D) 4

**Resposta:** A) 2

**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\), onde \(k = 2\).

A) 2
B) 1
C) 0
D) 4

Determine a integral:

\[
\int (4x^3 + 2) \, dx
\]
A) \(x^4 + 2x + C\)
B) \(4x^4 + 2x + C\)
C) \(x^4 + \frac{2}{3} x^3 + C\)
D) \(2x^4 + C\)

**Resposta:** A) \(x^4 + 2x + C\)

**Explicação:** A integral é calculada como \(\left[ x^4 + 2x \right] + C\).

A) \(x^4 + 2x + C\)
B) \(4x^4 + 2x + C\)
C) \(x^4 + \frac{2}{3} x^3 + C\)
D) \(2x^4 + C\)

Calcule a derivada de \(f(x) = \cos(x^2)\).
A) \(-2x \sin(x^2)\)
B) \(-\sin(x^2)\)
C) \(-2x^2 \cos(x^2)\)
D) \(-\cos(x^2)\)

**Resposta:** A) \(-2x \sin(x^2)\)

**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x\).

A) \(-2x \sin(x^2)\)
B) \(-\sin(x^2)\)
C) \(-2x^2 \cos(x^2)\)
D) \(-\cos(x^2)\)

Calcule a integral:

\[
\int \frac{1}{x} \, dx
\]
A) \(\ln|x| + C\)
B) \(\frac{1}{x^2} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(-\ln(x) + C\)

**Resposta:** A) \(\ln|x| + C\)

**Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é conhecida e resulta em \(\ln|x| + C\).

A) \(\ln|x| + C\)
B) \(\frac{1}{x^2} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(-\ln(x) + C\)

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