Se ~A = (6ı̂− 8̂) unidades, ~B = (−8ı̂+ 3̂) unidades, e ~C = (26ı̂+ 19̂) unidades, determine a e b tal que a ~A + b ~B + ~C = 0.

Para resolver a equação \( a \vec{A} + b \vec{B} + \vec{C} = 0 \), precisamos substituir os vetores dados: \[ \vec{A} = (6\hat{i} - 8\hat{j}), \quad \vec{B} = (-8\hat{i} + 3\hat{j}), \quad \vec{C} = (26\hat{i} + 19\hat{j}). \] Substituindo na equação: \[ a(6\hat{i} - 8\hat{j}) + b(-8\hat{i} + 3\hat{j}) + (26\hat{i} + 19\hat{j}) = 0. \] Separando as componentes \( \hat{i} \) e \( \hat{j} \): 1. Para a componente \( \hat{i} \): \[ 6a - 8b + 26 = 0. \] 2. Para a componente \( \hat{j} \): \[ -8a + 3b + 19 = 0. \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \( 6a - 8b + 26 = 0 \) (Equação 1) 2. \( -8a + 3b + 19 = 0 \) (Equação 2) Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar \( b \) em função de \( a \): \[ 6a - 8b = -26 \implies 8b = 6a + 26 \implies b = \frac{6a + 26}{8}. \] Substituindo \( b \) na Equação 2: \[ -8a + 3\left(\frac{6a + 26}{8}\right) + 19 = 0. \] Multiplicando tudo por 8 para eliminar o denominador: \[ -64a + 3(6a + 26) + 152 = 0 \implies -64a + 18a + 78 + 152 = 0. \] Simplificando: \[ -46a + 230 = 0 \implies 46a = 230 \implies a = 5. \] Agora substituímos \( a \) de volta na expressão de \( b \): \[ b = \frac{6(5) + 26}{8} = \frac{30 + 26}{8} = \frac{56}{8} = 7. \] Portanto, os valores de \( a \) e \( b \) são: \[ a = 5, \quad b = 7. \]