Determine a integral \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\). A) \(\frac{1}{4}\) B) \(\frac{1}{2}\) C) \(\frac{5}{12}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(4x^3\): \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \] 2. Integral de \(-3x^2\): \[ \int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 \] 3. Integral de \(2\): \[ \int 2 \, dx = 2x \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x + C \] Agora, precisamos avaliar essa integral de \(0\) a \(1\): \[ \left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1^4 - 1^3 + 2 \cdot 1) - (0^4 - 0^3 + 2 \cdot 0) \] \[ = (1 - 1 + 2) - (0) = 2 \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\) é \(2\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.