testes aleatorios 24E38

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17. **Problema 17**: Calcule \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 - A) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 - C) \(\ln(x) + C\) 
 - D) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\) 
 **Resposta**: A) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = \ln(x)\), temos \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| 
+ C = \ln(\ln(x)) + C\). 
 
18. **Problema 18**: Encontre a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{12}\) 
 - B) \(\frac{1}{6}\) 
 - C) \(\frac{1}{4}\) 
 - D) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta**: B) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \(\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 
\frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\). 
 
19. **Problema 19**: Determine o valor de \(\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx\). 
 - A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - B) \(\frac{\pi}{6}\) 
 - C) \(\frac{\pi}{3}\) 
 - D) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta**: A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\frac{1}{2} \left[x - \frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}\). 
 
20. **Problema 20**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{5x^3 - 4x}\). 
 - A) 0 
 - B) \(\frac{2}{5}\) 
 - C) 1 
 - D) \(\infty\) 
 **Resposta**: B) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x^3\), obtemos \(\lim_{x 
\to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{5}\). 
 
21. **Problema 21**: Determine a integral \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{4}\) 
 - B) \(\frac{1}{2}\) 
 - C) \(\frac{5}{12}\) 
 - D) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta**: C) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \(\left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) 
- (0) = 2\). 
 
22. **Problema 22**: Calcule \(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{2} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 - C) \(\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 - D) \(\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Resposta**: C) \(\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = e^{2x}\), a integral se transforma em 
\(\frac{1}{6} u \sin(3u) + C\). 
 
23. **Problema 23**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 - A) 0 
 - B) 2 
 - C) 1 
 - D) \(\infty\) 
 **Resposta**: B) 2 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\). 
 
24. **Problema 24**: Determine a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 - A) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - B) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - C) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - D) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta**: A) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 
2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 
 
25. **Problema 25**: Calcule a integral \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 - A) 1 
 - B) \(\ln(e)\) 
 - C) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 - D) \(\ln(2)\) 
 **Resposta**: C) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[ \ln(x) \right]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
26. **Problema 26**: Determine o valor de \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta**: B) 2 
 **Explicação**: A integral é \(\left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} + 1 
+ 1\right) - 0 = \frac{7}{3}\). 
 
27. **Problema 27**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 3 
 - D) \(\infty\) 
 **Resposta**: C) 3