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24. **Problema 24:** Calcule a derivada da função f(x) = \ln(x^2 + 1). Agora, escolha a alternativa correta:

A) \frac{2x}{x^2 + 1}
B) \frac{1}{x^2 + 1}
C) \frac{2}{x^2 + 1}
D) \frac{x}{x^2 + 1}
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Desafios para Aprender

há 11 meses

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há 11 meses

diarios de exercicios ACAQ
3 pág.

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ESTÁCIO

Respostas

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há 11 meses

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \). 1. Primeiro, encontramos \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Correta. B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) - Incorreta. C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) - Incorreta. D) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).

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19. **Problema 19:** Resolva a equação diferencial y' = y(1 - y). Agora, escolha a alternativa correta:

A) y = \frac{1}{C + e^{-x}}
B) y = \frac{C}{1 + Cx}
C) y = \frac{C}{1 - Cx}
D) y = \frac{e^x}{C + e^x}

20. **Problema 20:** Calcule o limite \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^2 - 2}{2x^4 + 7}. Agora, escolha a alternativa correta:

A) \frac{5}{2}
B) 0
C) 1
D) \frac{3}{2}

21. **Problema 21:** Calcule a integral \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx. Agora, escolha a alternativa correta:

A) \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) - \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C
B) \frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C
C) \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C
D) \frac{1}{9} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C

22. **Problema 22:** Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}. Agora, escolha a alternativa correta:

A) 3
B) 0
C) 1
D) Não existe

23. **Problema 23:** Determine a integral \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx. Agora, escolha a alternativa correta:

A) 0
B) -\frac{1}{12}
C) \frac{1}{12}
D) \frac{1}{6}

25. **Problema 25:** Resolva a equação diferencial y'' + y = 0. Agora, escolha a alternativa correta:

A) y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)
B) y = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix}
C) y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}
D) y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)

26. **Problema 26:** Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(2x)}. Agora, escolha a alternativa correta:

A) 2
B) 4
C) 1
D) Não existe

27. **Problema 27:** Calcule a integral \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx. Agora, escolha a alternativa correta:

A) \frac{11}{6}
B) \frac{1}{3}
C) \frac{5}{3}
D) \frac{7}{6}

28. **Problema 28:** Determine a integral \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx. Agora, escolha a alternativa correta:

A) \tan^{-1}(x) + C
B) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C
C) \ln(x^2 + 1) + C
D) \frac{1}{x} + C

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