diarios de exercicios ACAQ

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19. **Problema 19:** Resolva a equação diferencial \(y' = y(1 - y)\). 
 - A) \(y = \frac{1}{C + e^{-x}}\) 
 - B) \(y = \frac{C}{1 + Cx}\) 
 - C) \(y = \frac{C}{1 - Cx}\) 
 - D) \(y = \frac{e^x}{C + e^x}\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = \frac{1}{C + e^{-x}}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação separável. Separando e integrando, encontramos a 
solução geral. 
 
20. **Problema 20:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^2 - 2}{2x^4 + 7}\). 
 - A) \(\frac{5}{2}\) 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) \(\frac{3}{2}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x\) no denominador, 
obtemos \(\frac{5 + \frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^4}}{2 + \frac{7}{x^4}} \to \frac{5}{2}\) quando \(x 
\to \infty\). 
 
21. **Problema 21:** Calcule a integral \(\int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) - \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 - C) \(\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 - D) \(\frac{1}{9} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) - \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida usando integração por partes, onde \(u 
= \sin(2e^{3x})\) e \(dv = e^{3x} dx\). 
 
22. **Problema 22:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 - A) 3 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** A) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\), obtemos que o limite é \(3\). 
 
23. **Problema 23:** Determine a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
 - A) 0 
 - B) \(-\frac{1}{12}\) 
 - C) \(\frac{1}{12}\) 
 - D) \(\frac{1}{6}\) 
 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} 
\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 0\). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 - A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 - B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 - C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 - D) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
25. **Problema 25:** Resolva a equação diferencial \(y'' + y = 0\). 
 - A) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
 - B) \(y = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix}\) 
 - C) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) 
 - D) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
 **Explicação:** A equação diferencial é uma equação linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é dada pela combinação linear de funções seno 
e cosseno. 
 
26. **Problema 26:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(2x)}\). 
 - A) 2 
 - B) 4 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** B) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 
1\), obtemos \(\frac{4}{2} = 2\). 
 
27. **Problema 27:** Calcule a integral \(\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 - A) \(\frac{11}{6}\) 
 - B) \(\frac{1}{3}\) 
 - C) \(\frac{5}{3}\) 
 - D) \(\frac{7}{6}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{11}{6}\) 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\left[ x^3 + x^2 + x \right]_0^1 = 1 + 1 + 1 = 3\). 
 
28. **Problema 28:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 - A) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 - C) \(\ln(x^2 + 1) + C\) 
 - D) \(\frac{1}{x} + C\)