Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \(-2x^2\): \[ \int -2x^2 \, dx = -\frac{2x^3}{3} \] 3. Integral de \(x\): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right] \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar: - O denominador comum entre \(4\), \(3\) e \(2\) é \(12\). Convertendo cada termo: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}, \quad \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \] Agora somamos: \[ \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{3 - 8 + 6}{12} = \frac{1}{12} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{1}{12}\). A alternativa correta é: C) \(\frac{1}{12}\).