Para calcular a integral \(\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(3x^2 + 2x + 1\). 1. A antiderivada de \(3x^2\) é \(x^3\). 2. A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^3 + x^2 + x \] Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = 1^3 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] \[ F(0) = 0^3 + 0^2 + 0 = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3 \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{11}{6}\) - não é igual a 3. B) \(\frac{1}{3}\) - não é igual a 3. C) \(\frac{5}{3}\) - não é igual a 3. D) \(\frac{7}{6}\) - não é igual a 3. Parece que nenhuma das alternativas está correta, pois o resultado da integral é 3. Você pode querer verificar se as alternativas estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.