Calcule a integral \( \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). A) \( 3 \) B) \( 4 \) C) \( 5 \) D) \( 6 \)

Para calcular a integral definida \( \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 2x^3 - 3x^2 + 4 \). 1. A antiderivada de \( 2x^3 \) é \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \). 2. A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -\frac{3}{3}x^3 = -x^3 \). 3. A antiderivada de \( 4 \) é \( 4x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): - \( F(2) = \frac{1}{2}(2^4) - (2^3) + 4(2) = \frac{1}{2}(16) - 8 + 8 = 8 - 8 + 8 = 8 \) - \( F(1) = \frac{1}{2}(1^4) - (1^3) + 4(1) = \frac{1}{2}(1) - 1 + 4 = \frac{1}{2} - 1 + 4 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = F(2) - F(1) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{16}{2} - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \] Como 4.5 não está entre as opções, parece que houve um erro na interpretação ou nas opções. No entanto, se considerarmos a aproximação, a resposta mais próxima seria: Nenhuma das alternativas está correta. Você pode querer revisar os cálculos ou as opções fornecidas.