Qual é o valor de \( an(120^ ext{º} + 30^ ext{º}) \)? A) \( -\sqrt{3} \) B) \( 1 \) C) \( 0 \) D) \( \sqrt{3} \)

Para calcular \( \tan(120^\circ + 30^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \] Neste caso, \( a = 120^\circ \) e \( b = 30^\circ \). Primeiro, precisamos encontrar \( \tan(120^\circ) \) e \( \tan(30^\circ) \): - \( \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \) (porque 120º está no segundo quadrante) - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Agora, substituímos na fórmula: \[ \tan(120^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(120^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(120^\circ) \tan(30^\circ)} \] Substituindo os valores: \[ \tan(120^\circ + 30^\circ) = \frac{-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Calculando o denominador: \[ 1 - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 + 1 = 2 \] Agora, o numerador: \[ -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \] Portanto, temos: \[ \tan(120^\circ + 30^\circ) = \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Por fim, a tangente de \( 150^\circ \) (que é \( 120^\circ + 30^\circ \)) é \( -\sqrt{3} \). Assim, a resposta correta é: A) \( -\sqrt{3} \).