Qual é o valor de \( an(30^ ext{º} + 60^ ext{º}) \)? A) \( \sqrt{3} \) B) \( 1 \) C) \( 0 \) D) \( -1 \)

Para resolver a questão, vamos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Neste caso, temos \( a = 30^\circ \) e \( b = 60^\circ \). Sabemos que: \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{e} \quad \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \] Substituindo na fórmula: \[ \tan(30^\circ + 60^\circ) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}\right)} \] Calculando o numerador: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \] Calculando o denominador: \[ 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}\right) = 1 - 1 = 0 \] Como o denominador é zero, a tangente não está definida, o que significa que o valor de \( \tan(90^\circ) \) é indefinido. Portanto, nenhuma das alternativas apresentadas (A, B, C, D) é correta, pois não temos um valor numérico definido para \( \tan(30^\circ + 60^\circ) \). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!