Qual é o valor de \( an(30^ heta + 60^ heta) \)? a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( \sqrt{3} \) d) \( 2 \)

Para resolver a questão, precisamos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Neste caso, temos \( a = 30^\theta \) e \( b = 60^\theta \). Sabemos que: - \( \tan(30^\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) - \( \tan(60^\theta) = \sqrt{3} \) Substituindo na fórmula: \[ \tan(30^\theta + 60^\theta) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}\right)} \] Calculando o numerador: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \] E o denominador: \[ 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}\right) = 1 - 1 = 0 \] Como o denominador é zero, isso significa que a tangente não está definida, o que implica que o valor de \( \tan(30^\theta + 60^\theta) \) tende ao infinito. Portanto, a resposta correta não está entre as opções dadas. Se você estiver se referindo a um valor específico ou a um contexto diferente, você precisa criar uma nova pergunta.