Problema 63: Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx \). a) \( 2 \) b) \( 1 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A integral de \( 3x^2 \) é \( x^3 \). 3. A integral de \( 3x \) é \( \frac{3x^2}{2} \). 4. A integral de \( 1 \) é \( x \). Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^4}{4} + 1^3 + \frac{3(1^2)}{2} + 1 \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + 0^3 + \frac{3(0^2)}{2} + 0 \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{2} + 1 \right] - 0 \] Convertendo tudo para frações: \[ = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{1 + 4 + 6 + 4}{4} = \frac{15}{4} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{15}{4} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se a questão está correta ou se há um erro nas opções.