Problema 89: Determine a integral ∫_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) dx. Agora, escolha a alternativa correta: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx\), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Podemos reescrever o polinômio como \((x + 1)^4\), pois: \[ (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \] Agora, a integral se torna: \[ \int_0^1 (x + 1)^4 \, dx \] Para resolver essa integral, vamos calcular: 1. Primeiro, encontramos a antiderivada de \((x + 1)^4\): \[ \frac{(x + 1)^5}{5} \] 2. Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x + 1)^5}{5} \right]_0^1 = \frac{(1 + 1)^5}{5} - \frac{(0 + 1)^5}{5} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \] 3. O resultado da integral é \(\frac{31}{5}\), que não está entre as opções dadas. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta, pois a integral não resulta em um número inteiro. Se você precisar de mais ajuda ou se houver um erro na formulação da questão, você terá que criar uma nova pergunta.