Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx \), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Podemos reescrever o polinômio como \( (x + 1)^4 \), pois: \[ (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \] Agora, vamos calcular a integral: \[ \int_0^1 (x + 1)^4 \, dx \] Para resolver isso, primeiro encontramos a antiderivada de \( (x + 1)^4 \): \[ \frac{(x + 1)^5}{5} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x + 1)^5}{5} \right]_0^1 = \frac{(1 + 1)^5}{5} - \frac{(0 + 1)^5}{5} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{31}{5} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você precisa criar uma nova pergunta.