Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). Agora, escolha a alternativa CORRETA: a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro calcular a integral indefinida da função. A função \( x^2 + 2x + 1 \) pode ser reescrita como \( (x + 1)^2 \). Agora, vamos calcular a integral: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 \] Calculando no limite superior (x = 1): \[ \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Calculando no limite inferior (x = 0): \[ \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado \( \frac{7}{3} \). Portanto, parece que há um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar as alternativas novamente?