Para encontrar a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \cos(3x)\), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = e^{2x}\) e \(u'(x) = 2e^{2x}\) - \(v(x) = \cos(3x)\) e \(v'(x) = -3\sin(3x)\) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2e^{2x}) \cos(3x) + (e^{2x})(-3\sin(3x)) \] Isso se simplifica para: \[ f'(x) = 2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)\) - Esta é a derivada correta. b) \(e^{2x}(-3\sin(3x) + 2\cos(3x))\) - Esta expressão é equivalente à alternativa (a), mas não está na forma padrão. c) \(e^{2x}(-6\sin(3x) + 3\cos(3x))\) - Esta não é a derivada correta. d) \(e^{2x}(2\cos(3x) + 3\sin(3x))\) - Esta também não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)\).