Para resolver essa questão, precisamos calcular as áreas dos triângulos OAP e OAQ no sistema de coordenadas polares. 1. Área do triângulo OAP: - Os pontos são O = (0, 0), A = (1, 0) e P = (ρ, θ). - A fórmula da área de um triângulo formado por dois vetores no plano é dada por: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OP| \cdot \sin(\theta) \] - Aqui, |OA| = 1 e |OP| = ρ, então: \[ \text{Área}_{OAP} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot ρ \cdot \sin(\theta) = \frac{ρ \cdot \sin(\theta)}{2} \] 2. Área do triângulo OAQ: - Os pontos são O = (0, 0), A = (1, 0) e Q = (1/ρ, θ). - Usando a mesma fórmula: \[ |OQ| = \frac{1}{ρ} \] - Portanto: \[ \text{Área}_{OAQ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{ρ} \cdot \sin(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{2ρ} \] 3. Condição dada: - A área do triângulo OAP é o dobro da área do triângulo OAQ: \[ \frac{ρ \cdot \sin(\theta)}{2} = 2 \cdot \frac{\sin(\theta)}{2ρ} \] - Simplificando: \[ ρ \cdot \sin(\theta) = \frac{2 \cdot \sin(\theta)}{ρ} \] - Multiplicando ambos os lados por ρ: \[ ρ^2 \cdot \sin(\theta) = 2 \cdot \sin(\theta) \] - Dividindo ambos os lados por \(\sin(\theta)\) (que é positivo, já que \(0 < θ < π/2\)): \[ ρ^2 = 2 \] - Portanto: \[ ρ = \sqrt{2} \] Como a opção correta não está listada, mas se considerarmos que a resposta correta deve ser uma das opções dadas, a mais próxima e correta é e) 2√2, que parece ser um erro de digitação, pois o correto seria √2. Entretanto, se a questão realmente pede ρ, a resposta correta é ρ = √2.