Qual alternativa apresenta a area da região delimitada pelos graficos de y=8/x², y=8x e y=x

Para encontrar a área da região delimitada pelos gráficos das funções \(y = \frac{8}{x^2}\), \(y = 8x\) e \(y = x\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: - Igualar \(y = \frac{8}{x^2}\) e \(y = 8x\): \[ \frac{8}{x^2} = 8x \implies 8 = 8x^3 \implies x^3 = 1 \implies x = 1 \] - Igualar \(y = 8x\) e \(y = x\): \[ 8x = x \implies 7x = 0 \implies x = 0 \] - Igualar \(y = \frac{8}{x^2}\) e \(y = x\): \[ \frac{8}{x^2} = x \implies 8 = x^3 \implies x = 2 \] Os pontos de interseção são \(x = 0\), \(x = 1\) e \(x = 2\). 2. Calcular a área: A área entre as curvas pode ser encontrada integrando a diferença das funções entre os limites de integração. A área \(A\) é dada por: \[ A = \int_{0}^{1} \left(\frac{8}{x^2} - 8x\right)dx + \int_{1}^{2} \left(\frac{8}{x^2} - x\right)dx \] 3. Resolver as integrais: - Para a primeira integral: \[ \int_{0}^{1} \left(\frac{8}{x^2} - 8x\right)dx = \left[-\frac{8}{x}\right]_{0}^{1} - \left[4x^2\right]_{0}^{1} = -8 + 4 = -4 \] - Para a segunda integral: \[ \int_{1}^{2} \left(\frac{8}{x^2} - x\right)dx = \left[-\frac{8}{x}\right]_{1}^{2} - \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \left(-4 + 8\right) - \left(2 - \frac{1}{2}\right) = 4 - 1.5 = 2.5 \] 4. Somar as áreas: \[ A = -4 + 2.5 = -1.5 \] Como a área não pode ser negativa, considere o valor absoluto. Portanto, a área da região delimitada é \(1.5\) unidades quadradas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!