Qual é o valor da integral \(\int_{1}^{2} (x^2 + 2x) \, dx\)? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

Para calcular a integral \(\int_{1}^{2} (x^2 + 2x) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(x^2 + 2x\). 1. A antiderivada de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\). 2. A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). Portanto, a antiderivada de \(x^2 + 2x\) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 \] Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a 2: \[ \int_{1}^{2} (x^2 + 2x) \, dx = F(2) - F(1) \] Calculando \(F(2)\): \[ F(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \] Agora, calculando \(F(1)\): \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \] Agora, subtraímos: \[ F(2) - F(1) = \frac{20}{3} - \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \] Agora, precisamos verificar qual alternativa se aproxima desse valor. Nenhuma das alternativas (3, 4, 5, 6) corresponde a \(\frac{16}{3}\), que é aproximadamente 5.33. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!