horas 290m

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a) 3 
 b) 5 
 c) 6 
 d) 7 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** A antiderivada é \(x^3 - 2x\). Avaliando de 1 a 2, obtemos \((2^3 - 2 \cdot 
2) - (1^3 - 2 \cdot 1) = (8 - 4) - (1 - 2) = 4 + 1 = 5\). 
 
52. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\)?** 
 a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 b) \(3x^2 \ln(x) - x^2\) 
 c) \(x^2 \ln(x)\) 
 d) \(x^3 \ln(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2\). 
 
53. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k\), onde \(k = 2\), temos que o limite é 2. 
 
54. **Qual é a integral \(\int (7x^3 - 5x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4x + C\) 
 b) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4 + C\) 
 c) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4x^2 + C\) 
 d) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4x^2 + 3 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4x + C\) 
 **Explicação:** A antiderivada é calculada termo a termo: \(\int 7x^3 \, dx = 
\frac{7}{4}x^4\), \(\int -5x^2 \, dx = -\frac{5}{3}x^3\), e \(\int 4 \, dx = 4x\). Portanto, a integral 
é \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4x + C\). 
 
55. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{5e^{5x}}{1} = 5\). 
 
56. **Qual é a integral \(\int (8x^4 - 6x^2 + 2) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{8}{5}x^5 - 3x^3 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{8}{5}x^5 - 3x^3 + 2 + C\) 
 c) \(\frac{8}{5}x^5 - 3x^3 + 2x^2 + C\) 
 d) \(\frac{8}{5}x^5 - 3x^3 + 2x^3 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{8}{5}x^5 - 3x^3 + 2x + C\) 
 **Explicação:** A antiderivada é calculada termo a termo: \(\int 8x^4 \, dx = 
\frac{8}{5}x^5\), \(\int -6x^2 \, dx = -2x^3\), e \(\int 2 \, dx = 2x\). Portanto, a integral é 
\(\frac{8}{5}x^5 - 2x^3 + 2x + C\). 
 
57. **Qual é o valor da integral \(\int_{1}^{2} (x^2 + 2x) \, dx\)?** 
 a) 3 
 b) 4 
 c) 5 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} + x^2\). Avaliando de 1 a 2, obtemos 
\(\left(\frac{2^3}{3} + 2^2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1^2\right) = \left(\frac{8}{3} + 4\right) - 
\left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{16}{3}\). 
 
58. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^5 \sin(x)\)?** 
 a) \(5x^4 \sin(x) + x^5 \cos(x)\) 
 b) \(5x^4 \sin(x) - x^5 \cos(x)\) 
 c) \(x^4 \sin(x)\) 
 d) \(x^5 \cos(x)\) 
 **Resposta:** a) \(5x^4 \sin(x) + x^5 \cos(x)\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = 5x^4 \sin(x) + x^5 \cos(x)\). 
 
59. **Qual é a integral \(\int (2x + 1) \, dx\)?** 
 a) \(x^2 + x + C\) 
 b) \(x^2 + 2x + C\) 
 c) \(x^2 + \frac{1}{2}x + C\) 
 d) \(2x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A antiderivada é calculada termo a termo: \(\int 2x \, dx = x^2\) e \(\int 1 
\, dx = x\). Portanto, a integral é \(x^2 + x + C\). 
 
60. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\)?** 
 a) 0 
 b) \(-\frac{9}{2}\) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \(-\frac{9}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3x)}{2x} = 
\lim_{x \to 0} \frac{-9\cos(3x)}{2} = -\frac{9}{2}\). 
 
61. **Qual é a integral \(\int (x^3 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{4}x^4 - 4x + x + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x + x + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + x + C\)