Um hexágono regular tem um apótema de 5 cm. Qual é a área do hexágono? a) 60 cm² b) 50 cm² c) 80 cm² d) 70 cm²

Para calcular a área de um hexágono regular, podemos usar a fórmula: \[ \text{Área} = \frac{P \times a}{2} \] onde \( P \) é o perímetro e \( a \) é o apótema. Um hexágono regular tem 6 lados. Se o apótema é 5 cm, precisamos primeiro calcular o comprimento de um lado. O perímetro \( P \) de um hexágono regular é dado por: \[ P = 6 \times l \] onde \( l \) é o comprimento de um lado. O apótema também pode ser relacionado ao lado do hexágono pela fórmula: \[ a = \frac{l \sqrt{3}}{2} \] Substituindo \( a = 5 \): \[ 5 = \frac{l \sqrt{3}}{2} \] Resolvendo para \( l \): \[ l = \frac{5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \] Agora, calculamos o perímetro: \[ P = 6 \times \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \] Agora, substituímos na fórmula da área: \[ \text{Área} = \frac{P \times a}{2} = \frac{\left(\frac{60}{\sqrt{3}}\right) \times 5}{2} = \frac{300}{2\sqrt{3}} = \frac{150}{\sqrt{3}} \] Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador por \(\sqrt{3}\): \[ \text{Área} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3} \] Aproximando \(\sqrt{3} \approx 1,73\): \[ 50\sqrt{3} \approx 50 \times 1,73 \approx 86,5 \, \text{cm}² \] Nenhuma das alternativas corresponde exatamente a esse valor, mas a mais próxima é a opção c) 80 cm². Portanto, a resposta correta é: c) 80 cm².