Problema 55: Encontre: \[\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\] a) \tan^{-1}(x) + C b) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C c) -\tan^{-1}(x) + C d) C \tan^{-1}(x)

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Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral da função \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. A integral é dada por: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Correta. b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. c) \(-\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. d) \(C \tan^{-1}(x)\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\tan^{-1}(x) + C\).

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Problema 48: O que é a integral:
\(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\)

a) -\frac{1}{5} \cos(3e^{2x}) + C
b) \frac{1}{5} \sin(3e^{2x}) + C
c) \frac{1}{15} e^{2x} + C
d) -\frac{1}{5} e^{2x} + C

Problema 49: Calcule a integral:
\(\int_0^1 x^3 \cos(x) \, dx\)

a) \frac{1}{4}
b) \frac{1}{6}
c) \frac{1}{12}
d) \frac{1}{15}

Problema 50: Encontre o resultado de:
\(\int x^2 e^{x^3} dx\)

a) \frac{1}{3} e^{x^3} + C
b) \frac{1}{2} e^{x^3} + C
c) \frac{2}{3} e^{x^3} + C
d) \frac{3}{2} e^{x^3} + C

Problema 51: Resolva a integral:
\[\int \sqrt{x} \, dx\]

a) \frac{2}{3} x^{3/2} + C
b) \frac{1}{2} x^{1/2} + C
c) \frac{3}{4} x^{3/2} + C
d) 2 \sqrt{x} + C

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\(\int x^2 e^{x^3} dx\)

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\[\int \sqrt{x} \, dx\]

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c) \frac{3}{4} x^{3/2} + C
d) 2 \sqrt{x} + C

Problema 52: Calcule a integral definida:
\[\int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx\]

a) 1
b) 2
c) \frac{2}{3}
d) \frac{5}{3}

Problema 53: Qual é a derivada de
\[y = \tan^{-1}(x)\]?

a) \frac{1}{1+x^2}
b) -\frac{1}{1+x^2}
c) \frac{x}{1+x^2}
d) \sec^2(x)

Problema 54: Determine o limite:
\[\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{4x^2 - 2}\]

a) \frac{1}{2}
b) \frac{2}{4}
c) 1
d) 0

Problema 56: A função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) tem um ponto de inflexão quando?

a) x = 1
b) x = 2
c) x = 0
d) Nenhuma das alternativas

Problema 57: Calcule a integral:
\[\int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx\]

a) 1
b) 0
c) 2
d) \frac{\pi}{2}

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