Para encontrar a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \), precisamos lembrar que a série de Taylor é dada pela fórmula: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] Calculando as derivadas de \( \sin(x) \) em \( x = 0 \): - \( f(0) = \sin(0) = 0 \) - \( f'(x) = \cos(x) \) então \( f'(0) = \cos(0) = 1 \) - \( f''(x) = -\sin(x) \) então \( f''(0) = -\sin(0) = 0 \) - \( f'''(x) = -\cos(x) \) então \( f'''(0) = -\cos(0) = -1 \) - \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \) então \( f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0 \) - \( f^{(5)}(x) = \cos(x) \) então \( f^{(5)}(0) = \cos(0) = 1 \) Agora, substituindo na fórmula da série de Taylor: \[ \sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + 1 \cdot \frac{x^5}{5!} + \ldots \] Isso resulta em: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots \)