Grátis: Encontre a integral indefinida \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). A) \( \ln(\ln(x)) + C \) B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) C) \( x \ln(x) + C \) D...

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Encontre a integral indefinida \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \).

A) \( \ln(\ln(x)) + C \)
B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \)
C) \( x \ln(x) + C \)
D) \( x + C \)

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Para resolver a integral indefinida \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = \ln(x) \). Assim, temos que \( du = \frac{1}{x} \, dx \), o que nos permite reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{u} \, du \] A integral de \( \frac{1}{u} \) é \( \ln|u| + C \). Substituindo \( u \) de volta, obtemos: \[ \ln(\ln(x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \ln(\ln(x)) + C \) - Esta é a resposta correta. B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) - Incorreta. C) \( x \ln(x) + C \) - Incorreta. D) \( x + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \ln(\ln(x)) + C \).

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Qual é o produto de limites? Calcule \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) \cdot \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \).

A) 0
B) 1
C) -1
D) Infinito

Calcule a integral dupla \( A = \int_0^1 \int_0^1 xy \, dy \, dx \).

A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{3} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) 1

Encontre a inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).

a) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \)
b) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -0.5 \end{pmatrix} \)
c) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1.5 & 0.5 \end{pmatrix} \)
d) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0.5 \end{pmatrix} \)

Determine a solução da equação diferencial \( y' = y^2 - 1 \).

a) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \)
b) \( y = \tan(x + C) \)
c) \( y = Ce^{x} + 1 \)
d) \( y = \frac{1}{C + e^{-x}} \)

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sob \( f(x) = x^2 \) de \( x = 0 \) até \( x = 1 \) em torno do eixo x.

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{3} \)
C) \( \frac{\pi}{2} \)
D) \( \frac{\pi^2}{6} \)

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Qual é o produto de limites? Calcule \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) \cdot \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \).

A) 0
B) 1
C) -1
D) Infinito

Calcule a integral dupla \( A = \int_0^1 \int_0^1 xy \, dy \, dx \).

A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{3} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) 1

Determine a solução da equação diferencial \( y' = y^2 - 1 \).

a) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \)
b) \( y = \tan(x + C) \)
c) \( y = Ce^{x} + 1 \)
d) \( y = \frac{1}{C + e^{-x}} \)

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sob \( f(x) = x^2 \) de \( x = 0 \) até \( x = 1 \) em torno do eixo x.

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{3} \)
C) \( \frac{\pi}{2} \)
D) \( \frac{\pi^2}{6} \)

Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{2x^2 + 1} \).

A) \( \frac{3}{2} \)
B) 0
C) 1
D) Infinito

Encontre o determinante da matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \).

A) 24
B) 12
C) 30
D) 18

Calcule a derivada da função f(x) = tan(x).

a) sec^2(x)
b) sin^2(x)
c) cos^2(x)
d) csc^2(x)

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Determine a solução da equação diferencial \( y' = y^2 - 1 \).a) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \)b) \( y = \tan(x + C) \)c) \( y = Ce^{x} + 1 \)d) \( y = \frac{1}{C + e^{-x}} \)

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sob \( f(x) = x^2 \) de \( x = 0 \) até \( x = 1 \) em torno do eixo x.A) \( \frac{\pi}{4} \)B) \( \frac{\pi}{3} \)C) \( \frac{\pi}{2} \)D) \( \frac{\pi^2}{6} \)

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Calcule a derivada da função f(x) = tan(x).a) sec^2(x)b) sin^2(x)c) cos^2(x)d) csc^2(x)

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A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{3} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) 1

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a) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \)
b) \( y = \tan(x + C) \)
c) \( y = Ce^{x} + 1 \)
d) \( y = \frac{1}{C + e^{-x}} \)

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sob \( f(x) = x^2 \) de \( x = 0 \) até \( x = 1 \) em torno do eixo x.

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{3} \)
C) \( \frac{\pi}{2} \)
D) \( \frac{\pi^2}{6} \)

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A) \( \frac{3}{2} \)
B) 0
C) 1
D) Infinito

Encontre o determinante da matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \).

A) 24
B) 12
C) 30
D) 18

Calcule a derivada da função f(x) = tan(x).

a) sec^2(x)
b) sin^2(x)
c) cos^2(x)
d) csc^2(x)