Calcule a integral dupla \( A = \int_0^1 \int_0^1 xy \, dy \, dx \). A) \( \frac{1}{4} \) B) \( \frac{1}{3} \) C) \( \frac{1}{2} \) D) 1

Para calcular a integral dupla \( A = \int_0^1 \int_0^1 xy \, dy \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^1 xy \, dy = x \int_0^1 y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = x \cdot \frac{1^2}{2} = \frac{x}{2} \] 2. Agora, integramos o resultado em relação a \( x \): \[ A = \int_0^1 \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Portanto, o valor da integral dupla é \( \frac{1}{4} \). A alternativa correta é: A) \( \frac{1}{4} \).