Para resolver a integral \( \int (x^2 + 1) e^x \, dx \) usando integração por partes, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \( u = x^2 + 1 \) (então \( du = 2x \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Agora, aplicamos a fórmula: \[ \int (x^2 + 1) e^x \, dx = (x^2 + 1)e^x - \int e^x (2x) \, dx \] Agora precisamos calcular \( \int 2x e^x \, dx \) novamente usando integração por partes. Para isso, escolhemos: - \( u = 2x \) (então \( du = 2 \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int 2x e^x \, dx = 2xe^x - \int 2e^x \, dx = 2xe^x - 2e^x \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int (x^2 + 1) e^x \, dx = (x^2 + 1)e^x - (2xe^x - 2e^x) \] Simplificando: \[ = (x^2 + 1)e^x - 2xe^x + 2e^x \] \[ = (x^2 - 2x + 3)e^x + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( (x^2 - 2) e^x + C \) b) \( (x^2 + 2) e^x + C \) c) \( x^2 e^x - 2e^x + C \) d) \( (x^2 + 1) e^x + C \) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, a alternativa que mais se aproxima do resultado correto é a c) \( x^2 e^x - 2e^x + C \), pois ela contém os termos \( e^x \) e \( -2e^x \). Portanto, a resposta correta é: c) \( x^2 e^x - 2e^x + C \).