Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \)? a) \( \frac{2}{5} \)

Para calcular o valor da integral \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 2x^3 \) é \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \). - A antiderivada de \( 3x^2 \) é \( \frac{3}{3}x^3 = x^3 \). Portanto, a antiderivada de \( 2x^3 + 3x^2 \) é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, vamos avaliar \( F(x) \) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 = 0 \] 3. Calcular o valor da integral: \[ \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \) é \( \frac{3}{2} \). A resposta correta não é a opção a) \( \frac{2}{5} \).