Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 4x + 4) \, dx \)? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^2 + 4x + 4) \, dx \), vamos primeiro calcular a integral indefinida da função. 1. A função a ser integrada é \( x^2 + 4x + 4 \). 2. A integral de cada termo é: - \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \) - \( \int 4x \, dx = 2x^2 \) - \( \int 4 \, dx = 4x \) Portanto, a integral indefinida é: \[ \int (x^2 + 4x + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C \] Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 4x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_0^1 \] Calculando em \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} + 2(1^2) + 4(1) = \frac{1}{3} + 2 + 4 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} + \frac{12}{3} = \frac{19}{3} \] Calculando em \( x = 0 \): \[ \frac{0^3}{3} + 2(0^2) + 4(0) = 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ \int_0^1 (x^2 + 4x + 4) \, dx = \frac{19}{3} - 0 = \frac{19}{3} \] Como \( \frac{19}{3} \) não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas. No entanto, se considerarmos a soma dos coeficientes, a resposta correta não está listada. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!