41 – Mostrar que o mdc(5n + 6, 5n + 8) = 1 onde n é um inteiro ímpar.

Para mostrar que \( \text{mdc}(5n + 6, 5n + 8) = 1 \) onde \( n \) é um inteiro ímpar, podemos usar a propriedade do máximo divisor comum. 1. Identificar os números: Temos \( a = 5n + 6 \) e \( b = 5n + 8 \). 2. Calcular a diferença: Vamos calcular \( b - a \): \[ b - a = (5n + 8) - (5n + 6) = 2 \] 3. Aplicar a propriedade do mdc: Usamos a propriedade que diz que \( \text{mdc}(a, b) = \text{mdc}(a, b - a) \): \[ \text{mdc}(5n + 6, 5n + 8) = \text{mdc}(5n + 6, 2) \] 4. Analisar \( 5n + 6 \): Como \( n \) é ímpar, \( 5n \) é ímpar (pois o produto de um número ímpar por um número ímpar é ímpar) e, portanto, \( 5n + 6 \) é ímpar (pois ímpar + par = ímpar). 5. Concluir o mdc: O único divisor comum entre um número ímpar e 2 (que é par) é 1. Portanto: \[ \text{mdc}(5n + 6, 2) = 1 \] Assim, concluímos que: \[ \text{mdc}(5n + 6, 5n + 8) = 1 \] Portanto, a afirmação está provada.