42 – Sejam a, b, c, d (b  d) inteiros tais que mdc(a, b) = mdc(c, d) = 1. Mostrar que a soma a/b + c/d não é um inteiro.

Para resolver a questão, vamos analisar a soma \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \). 1. Condições dadas: Temos que \( \text{mdc}(a, b) = 1 \) e \( \text{mdc}(c, d) = 1 \). Isso significa que \( a \) e \( b \) são coprimos, assim como \( c \) e \( d \). 2. Soma das frações: Podemos somar as frações: \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \] 3. Análise do denominador: O denominador \( bd \) é um inteiro, já que \( b \) e \( d \) são inteiros. 4. Análise do numerador: Agora, precisamos verificar se \( ad + bc \) pode ser divisível por \( bd \). Como \( a \) e \( b \) são coprimos, \( b \) não divide \( a \) e, da mesma forma, \( d \) não divide \( c \). 5. Propriedade de coprimos: Como \( \text{mdc}(a, b) = 1 \) e \( \text{mdc}(c, d) = 1 \), isso implica que \( ad \) e \( bc \) não podem ser múltiplos de \( b \) e \( d \) simultaneamente, o que significa que \( ad + bc \) não pode ser divisível por \( bd \). Portanto, a soma \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \) não é um inteiro, conforme solicitado. Assim, a conclusão é que a soma \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \) não é um inteiro.