Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 53

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Solução:- Seja d = mdc(a + b, a – b)  existem os inteiros x e y tais que (a + b)x 
+ (a – b)y = d  a(x + y) + b(x – y) = d  d é múltiplo do mdc(a, b). Se d é 
múltiplo do mdc(a, b) então d > mdc(a, b)  mdc(a + b, a – b) > mdc(a, b).Cqd. 
 
41 – Mostrar que o mdc(5n + 6, 5n + 8) = 1 onde n é um inteiro ímpar. 
Solução:- Se n é um inteiro ímpar, então 
5n + 6 = 5(2k + 1) + 6 = 10k + 11 = 10(k + 1) + 1 = 10x + 1 
5n + 8 = 5(2k + 1) + 8 = 10k + 13 = 10(k + 1) + 3 = 10x + 3 
Calculando o mdc de 10k + 1 e 10x + 3 pelo processo das divisões sucessivas, 
temos: 
(10x + 3) = (10x +1). 1 + 2 
(10x + 1) = 2.5x + 1. Como o último resto é 1, resulta que mdc(5n + 5, 5n + 8) = 
1. Cqd. 
 
42 – Sejam a, b, c, d (b  d) inteiros tais que mdc(a, b) = mdc(c, d) = 1. Mostrar 
que a soma a/b + c/d não é um inteiro. 
Solução:- (a/b + b/d) = (ad + bc)/bd será um inteiro se e somente se bd | (ad + 
bc). 
bd | (ac + bc)  b | (ac + bd) e d | (ac + bd). 
Se b | (ad + bc) teremos ad + bc = bk  ad = b (k – c). Como k e c são inteiros, 
k – c é um inteiro. Assim, existe um inteiro (k – c) tal que ad = b(k – c)  b | ad. 
Como mdc(a, b) = 1 resulta b | d. 
Se d | (ad + bc) teremos ad + bc = dk  bc = d(k – a)  d | bc. Mas, mdc(d, c) = 
1. Assim conclui-se d | b. 
Ora, é impossível ocorrer b | d e d | b pois d  b, conforme enunciado. 
Assim, (ad – bc) somente será divisível por bd se b = d, quando mdc(a, b) = 1 e 
mdc(c, d) = 1. Como essas condições não são são todas verificadas, (ad – bc) não 
é divisível por bd  (a/b + c/d) não é um inteiro. Cqd. 
 
43 – Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo que a2 – b2 = 7344 e mdc(a, 
b) = 12. 
Solução:- De mdc(a, b) = 12 resulta, existem os inteiros x e y tais que a = 12x e b 
= 12y. 
Substituindo esses valores em a2 – b2 = 7344, temos: 144x2 – 144y2 = 7344  x2 
– y2 = 51  (x – y)(x + y) = 51. Como x e y são inteiros, (x – y) e (x + y) 
também são inteiros. Ora, 51 somente admite os inteiros (1, 51) e (3, 17) cujos 
produtos sejam 51. 
Portanto: 
(1) x – y = 1 e y + x = 51  x = 26 e y = 25  a = 12x = 12.26 = 312 e b = 
12.25 = 300, ou 
( 2 ) x – y = 3 e x + y = 17  x = 10 e y = 7  a = 12.10 = 120 e b = 12.7 = 
84. 
Resposta: (312, 300) ou (120, 84)