Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas sobre o triângulo retângulo ABC, onde A é o ângulo reto e D é a projeção de A sobre BC. Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: \[ \text{Área} = \frac{base \times altura}{2} \] Neste caso, a base pode ser o segmento BC e a altura é a distância de A até a linha BC, que é o segmento AD. Como D é a projeção de A sobre BC, podemos usar a relação trigonométrica para encontrar a altura (AD) em termos do ângulo \( \theta \): \[ AD = AB \cdot \sin(\theta) \] E a base (BC) pode ser expressa em termos de BD e CD, onde BD = cm e CD pode ser encontrado usando a relação trigonométrica: \[ CD = AB \cdot \cos(\theta) \] Assim, a área do triângulo ABC pode ser expressa como: \[ \text{Área} = \frac{BD \cdot AD}{2} = \frac{BD \cdot (AB \cdot \sin(\theta))}{2} \] Substituindo BD por cm e simplificando, podemos encontrar a expressão correta. Analisando as alternativas, a que melhor se encaixa com a relação encontrada e a área do triângulo em função de \( \theta \) é: a) \( 2 \sec \tan^2 \theta \) Portanto, a alternativa correta é a) \( 2 \sec \tan^2 \theta \).