Grátis: O que representa a integral de linha no cálculo multivariável? a) Área sob a curva b) Trabalho realizado por um vetor de força c) Comprimento de u...

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O que representa a integral de linha no cálculo multivariável?

a) Área sob a curva
b) Trabalho realizado por um vetor de força
c) Comprimento de uma linha
d) Volume sob uma superfície

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A integral de linha no cálculo multivariável é uma ferramenta que mede a soma de uma função ao longo de uma curva. Um dos contextos mais comuns em que isso é aplicado é no cálculo do trabalho realizado por um vetor de força ao longo de um caminho. Vamos analisar as alternativas: a) Área sob a curva - Isso se refere mais a integrais duplas ou simples, não a integrais de linha. b) Trabalho realizado por um vetor de força - Esta é uma aplicação clássica da integral de linha, onde se calcula o trabalho ao longo de um caminho. c) Comprimento de uma linha - Embora a integral de linha possa ser usada para calcular o comprimento de uma curva, essa não é a definição mais comum. d) Volume sob uma superfície - Isso se refere a integrais duplas ou triplas, não a integrais de linha. Portanto, a alternativa correta é: b) Trabalho realizado por um vetor de força.

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Qual é o polinômio gerador da sequência \( a_n = 2^n \)?

a) \( \frac{1}{1 - 2x} \)
b) \( \frac{1}{1 - x} \)
c) \( \frac{1}{1 - 3x} \)
d) \( \frac{1}{1 - 4x} \)

Para a função \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \), determine os pontos críticos.

a) \( x = \pm 2 \)
b) \( x = 0, \pm 2 \)
c) \( x = 2 \)
d) Não existem pontos críticos.

O que é um ponto de inflexão em uma função?

a) Onde a função atinge um máximo.
b) Onde a função muda de concavidade.
c) Onde a função cruza o eixo x.
d) Onde a derivada é zero.

Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?

A) \( \sec^2(x) \)
B) \( \sin^2(x) \)
C) \( \cos^2(x) \)
D) \( \cot(x) \)

Se \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), qual é o valor de \( f'(2) \)?

a) 5
b) 7
c) 1
d) 0

Qual é a série de Fourier da função periódica \( f(x) = x \) definida em \( [-\pi, \pi] \)?

a) \( a_0 + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \)
b) \( x \)
c) \( \sum_n \frac{2(-1)^n}{n} \sin(nx) \)
d) \( \sum_n \cos(nx) \)

40. Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)?

A) 0
B) 1
C) \(\frac{1}{3}\)
D) 1

Qual é a função geradora da série \( a_n = n! \)?

a) \( e^x \)
b) \( \frac{1}{1 - x} \)
c) \( e^{nx} \)
d) \( \ln(1-x) \)

20. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)?
a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)
b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \)
c) \( \frac{1}{4} \ln|x^2 + 4| + C \)
d) \( \frac{1}{4} \ln\left|x^2 + 4\right| + C \)
a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)

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Qual é o polinômio gerador da sequência \( a_n = 2^n \)?a) \( \frac{1}{1 - 2x} \)b) \( \frac{1}{1 - x} \)c) \( \frac{1}{1 - 3x} \)d) \( \frac{1}{1 - 4x} \)

Para a função \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \), determine os pontos críticos.a) \( x = \pm 2 \)b) \( x = 0, \pm 2 \)c) \( x = 2 \)d) Não existem pontos críticos.

O que é um ponto de inflexão em uma função?a) Onde a função atinge um máximo.b) Onde a função muda de concavidade.c) Onde a função cruza o eixo x.d) Onde a derivada é zero.

Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?A) \( \sec^2(x) \)B) \( \sin^2(x) \)C) \( \cos^2(x) \)D) \( \cot(x) \)

Se \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), qual é o valor de \( f'(2) \)?a) 5b) 7c) 1d) 0

Qual é a série de Fourier da função periódica \( f(x) = x \) definida em \( [-\pi, \pi] \)?a) \( a_0 + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \)b) \( x \)c) \( \sum_n \frac{2(-1)^n}{n} \sin(nx) \)d) \( \sum_n \cos(nx) \)

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20. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)?a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \)c) \( \frac{1}{4} \ln|x^2 + 4| + C \)d) \( \frac{1}{4} \ln\left|x^2 + 4\right| + C \)a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)

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c) \( x = 2 \)
d) Não existem pontos críticos.

O que é um ponto de inflexão em uma função?

a) Onde a função atinge um máximo.
b) Onde a função muda de concavidade.
c) Onde a função cruza o eixo x.
d) Onde a derivada é zero.

Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?

A) \( \sec^2(x) \)
B) \( \sin^2(x) \)
C) \( \cos^2(x) \)
D) \( \cot(x) \)

Se \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), qual é o valor de \( f'(2) \)?

a) 5
b) 7
c) 1
d) 0

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a) \( a_0 + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \)
b) \( x \)
c) \( \sum_n \frac{2(-1)^n}{n} \sin(nx) \)
d) \( \sum_n \cos(nx) \)

40. Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)?

A) 0
B) 1
C) \(\frac{1}{3}\)
D) 1

Qual é a função geradora da série \( a_n = n! \)?

a) \( e^x \)
b) \( \frac{1}{1 - x} \)
c) \( e^{nx} \)
d) \( \ln(1-x) \)