Para calcular a derivada da função \(f(x) = x^4 \ln(x)\), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\), a derivada do produto \(u(x)v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = x^4\) e \(u'(x) = 4x^3\) - \(v(x) = \ln(x)\) e \(v'(x) = \frac{1}{x}\) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (4x^3)(\ln(x)) + (x^4)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 4x^3 \ln(x) + x^3 \] Agora, analisando as alternativas: a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) - Correto! b) \(4x^3 \ln(x) + 4x^2\) - Incorreto. c) \(4x^3 \ln(x) + 2x^2\) - Incorreto. d) \(4x^3 \ln(x) - x^3\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) 4x^3 \ln(x) + x^3.