Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx\)? a) 1

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx\), primeiro, podemos observar que a expressão dentro da integral é o polinômio que representa \((x + 1)^4\). Assim, podemos reescrever a integral como: \[ \int_0^1 (x + 1)^4 \, dx \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Encontrar a antiderivada: \[ \int (x + 1)^4 \, dx = \frac{(x + 1)^5}{5} + C \] 2. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x + 1)^5}{5} \right]_0^1 = \frac{(1 + 1)^5}{5} - \frac{(0 + 1)^5}{5} \] \[ = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \] Portanto, o resultado da integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx\) é \(\frac{31}{5}\). A resposta correta não é a alternativa a) 1.